Euklidischer Algorithmus Aufgaben Mit Lösungen / Euklidischer Algorithmus | Arithmetik-Digital
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Es geht aber auch rekursiv. Die Funktion istPrimzahl(p) sei wie folgt mit Hilfe der rekursiven Funktion istPrimzahl(p, z) definiert: istPrimzahl(p):= istPrimzahl(p, p-1) istPrimzahl(p, 1):= true istPrimzahl(p, z):= false, falls p durch z teilbar ist istPrimzahl(p, z):= istPrimzahl(p, z - 1), falls p nicht durch z teilbar ist Implementieren Sie eine rekursive Java-Methode, die istPrimzahl() berechnet (ohne Iterationen). - Rekursive Funktion implementieren Gegeben sei folgende rekursiv definierte Funktion f: f(n):= 1, für n = 1 f(n):= f(n-1) + 2n - 1, für n > 1 Implementieren Sie eine rekursive Java-Methode, die f(n) berechnet (ohne Iterationen). Um welche Form von Rekursion handelt es sich? Was berechnet f(n)? Geben Sie eine nicht-rekursive Implementierung von f an. Berechnen Sie die n-te Fibonacci-Zahl in O(log 2 n) Sie sollten erst die n-te Potenz einer Zahl mit O(log 2 n) Zeitaufwand implementiert haben, um diese Aufgabe anzugehen. Die Lösungsidee ist hier die gleiche. Man kann die n-te Fibonacci-Zahl mit Hilfe der folgenden Gleichung berechnen (Abbildung aus deutscher Wikipedia): Implementieren und testen Sie erst eine Klasse Matrix, mit der 2x2-Matrizen (int-Werte) repräsentiert und multipliziert werden können.
Der sogenannte euklidische Algorithmus ist ein Verfahren zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Zahlen. Da das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen der Quotient aus ihrem Produkt und ihrem ggT ist, lässt sich mit ihm auch das kgV ermitteln. Beim euklidischer Algorithmus wird wie folgt verfahren: Man teilt die größere durch die kleinere Zahl. Geht die Division auf, ist der Divisor der ggT. Geht die Division nicht auf, bleibt ein Rest. Dieser Rest ist der neue Divisor. Der alte Divisor wird zum Dividenden. Nun setzt man das Verfahren fort. Nach endlich vielen Schritten erhält man den ggT. In manchen Fällen ist dies die Zahl 1, dann sind die Ausgangszahlen teilerfremd. Es ist der ggT von 544 und 391 gesucht. 544: 391 = 1; Rest 153 391: 153 = 2; Rest 85 153: 85 = 1; Rest 68 85: 68 = 1; Rest 17 68: 17 = 4; Rest 0 Die Divison geht auf, der ggT von 544 und 391 ist 17. Daraus folgt: Das kgV von 544 und 391 ist ( 544 ⋅ 391): 17 = 12 512. Es ist der ggT von 13 und 7 gesucht.